选修4-2教案.doc

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2．1．1矩阵的不雅点1．坐标立体上的点〔向量〕——矩阵设O(0,0)，P(2,3)，那么向量=(2,3)，将的坐标排成一列，并简记为y x 2 3 O P(2,3)2 3 2 3 2．一样平常生涯——矩阵〔1〕某电视台举行唱歌竞赛，甲、乙两名选手初、复赛成果如下：预赛复赛甲8090乙8688〔2〕某牛仔裤市肆经销A、B、C、D、E五种差别牌子的牛仔裤，其腰围巨细分不有28英寸、30英寸、32英寸、34英寸四种，在一个礼拜内，该市肆的贩卖状况可用以下矩阵方法表现：ABCDE 28英寸13012 30英寸58612 32英寸23560 34英寸01103 3．图——矩阵0110 1010 1101 0010 ABCD A B C D 0110 1010 1101 0010 B A C D ABC A031 B300 C102 A C B矩阵：暗号：A，B，C，…或〔aij〕(此中i,j分不元素aij地点的行跟列)因素：行——列——元素矩阵相称Û行列数量相称同时对应元素相称。特不：〔1〕2×1矩阵，2×2矩阵〔二阶矩阵〕，2×3矩阵〔2〕零矩阵〔3〕行矩阵：[a11,a12]列矩阵：，普通用a，b等表现。〔4〕行向量与列向量例1用矩阵表现三角形ABC，A〔－1，0〕，B〔0，2〕，C〔2，0〕B A C D例2用矩阵表现以下关联图2.1.2矩阵的乘法1．生涯实例〔1〕某电视台举行唱歌竞赛，甲、乙两名选手初、复赛成果如下：预赛复赛甲8090乙8688假如规则唱歌竞赛最初成果由预赛跟复赛综合裁定，此中预赛占40%，决赛占60%，那么甲、乙的最初成果可用如下矩阵的方法表现：==〔2〕某牛仔裤市肆经销A、B、C、D、E五种差别牌子的牛仔裤，其腰围巨细分不有28英寸、30英寸、32英寸、34英寸四种，在一个礼拜内，该市肆的贩卖状况可用以下矩阵方法表现ABCDE 28英寸13012 30英寸58612 32英寸23560 34英寸01103假定差别牌子的每条牛仔裤的均匀利润分不为：A为30元，B为35元，C为40元，D为25元，E为40元，试咨询28英寸牛仔裤在该礼拜内取得的总利润是几多？28英寸牛仔裤的贩卖量：ABCDE[13012]差别牌子的均匀利润30 35 40 25 40 M=1´30+3´35+0´40+1´25+2´40=240〔元〕假如请求种种规格巨细的牛仔裤的总利润，就天然地得出以下的矩阵乘法130123024028英寸牛仔裤的利润586123577530英寸牛仔裤的利润2356040＝51532英寸牛仔裤的利润011032519534英寸牛仔裤的利润普通地：〔1〕行矩阵与列矩阵的乘法例那么〔2〕二阶矩阵与列向量的乘法例那么2．二阶矩阵乘列向量——几多何意思〔1〕=矩阵立体上每个向量〔点〕酿成了向量〔点〕，因而它是立体到立体的一个变更．那个变更实践上是把立体上的图形在y轴偏向拉伸了两倍．普通地：〔1〕立体变更的界说〔2〕立体变更的暗号〔3〕立体变更的规那么2.2立体变更——恒等变更1．恒等变更将图中所示的四边形ABCD坚持地位稳定，是否用矩阵M来表现？2．伸压变更——是否用矩阵来表现以以下图形的变更？例1曾经明白曲线y＝sinx通过变更T感化后变为新的曲线y＝sin2x，画出相干的图象，并求出变更T对应的矩阵M。例2验证圆C：x2＋y2＝1在矩阵A＝对应的伸压变更下变为一椭圆，并求出此椭圆的方程。3．反射变更例3求直线y＝4x在矩阵感化下变更所得的图形。普通地：二阶非零矩阵对应的变更将直线变更为直线。在矩阵M感化下，直线l1a＋l2b酿成直线l1Ma＋l2Mb，平日称这种变更为线性变更。4．旋改变更例4曾经明白A〔0，0〕，B〔2，0〕，C〔2，1〕，D〔0，1〕，求矩形ABCD绕原点逆时针扭转90º后失掉的图形，并求出其极点的坐标。5．投影变更6．切变变更例5曾经明白矩形ABCD在变更T的感化下酿成图形A¢B¢C¢D¢，试求变更对应的矩阵M。例6曾经明白矩形ABCD在变更T的感化下酿成图形A¢B¢C¢D¢，试求变更对应的矩阵M。矩阵的乘法一、咨询题：曾经明白△ABC，A〔0，0〕，B〔2，0〕，C〔1，2〕，对它先作M＝对应的变更，再作N＝对应的变更，〔1〕试研讨两次变更后的后果。〔2〕两次变更是否用一个变更矩阵表现。二、二阶矩阵的乘法例那么及几多何意思三、n次变更的表现方法——Mn例1盘算：①A＝，B＝②A=，B＝，C＝解：①AB===BA===∵≠论断：矩阵乘法不满意交流律。3、盘算：①X=〔〕②X=〔〕解：①X=〔〕==②X=〔〕==能够验证论断：矩阵乘法满意联合律。4．曾经明白△ABC，A〔0，0〕，B〔2，0〕，C〔1，2〕，对它先作对于x轴的反射的变更，再将图形绕原点顺时针扭转90º。〔1〕求两次延续的变更对应的变更矩阵M；〔2〕求A，B，C在变更感化下所失掉的后果。5．假定3=，试求x的值。解：3====∴3x=1∴x=6．A＝，B＝，求AB，A2，A3，An四、初等变更及初等变更矩阵矩阵乘法的复杂性子乘法的运算律：〔1〕交流律例1曾经明白正方形ABCD，A〔0，0〕，B〔1，0〕，C〔1，1〕，D〔0，1〕变更T1对应矩阵为M＝，变更T2对应矩阵为N＝对应的变更，盘算MN，NM，比拟它们是否一样，并从几多何变更的角度说明。〔2〕联合律〔AB〕C＝A〔BC〕〔3〕消去律例2曾经明白：A=，B＝，C＝，盘算AB，AC。逆矩阵与逆变更一、引入例1对于以下给出的变更矩阵A，是否存在变更矩阵B，使得延续进展两次变更〔先TA后TB〕的后果与恒等变更的后果一样？〔1〕以x为反射轴的反射变更；〔2〕绕原点逆时针扭转60º作旋改变更；〔3〕横坐标稳定，沿y轴偏向将纵坐标拉伸为本来的2倍作伸压变更；〔4〕沿y轴偏向，向x轴作投影变更；〔5〕纵坐标y稳定，横坐标依纵坐标的比例添加，且满意〔x，y〕Þ〔x＋2y，y〕二、逆变更与逆矩阵假定逆矩阵存在，那么能够证实其存在独一性。三、用几多何变更的不雅念求解逆矩阵A=，B＝，C＝，D＝四、用代数办法求解逆矩阵A＝B＝五、从几多何变更的角度求解二阶矩阵乘法的逆矩阵假定二阶矩阵A，B均可逆，那么AB也可逆，且(AB)－1＝B－1A－1例4〔1〕A＝，B＝〔2〕A＝，B＝六、研讨：二阶矩阵满意消去律的前提反例：书P46习题2二阶矩阵与二元一次方程组一、消元法二求解元一次方程组当ad－bc≠0时，方程组的解为二、二阶行列式界说：det(A)＝＝ad－bc因而方程组的解为记：D＝，Dx＝，Dy＝，因而，方程组的解为例1求以下行列式的值⑴⑵⑶⑷2解：⑴=1×4-2×3=-2⑵=1×4-2×〔-3〕=10⑶=-1×4-2×0=-4⑷2=2〔ad-bc〕例2假定x=〔R〕试求f(x)=x2+2x-3的最值。解：∵x==con2-sin2=con2∴-1≤x≤1∵f(x)=x2+2x-3=(x+1)2-4∴当x=-1时f(x)取得最小值-4；当x=1时f(x)取得最年夜值0例3应用行列式求解二元一次方程组例4应用行列式求解A＝的逆矩阵使用：一、用逆矩阵办法求二元一次方程组的解解：曾经明白方程组能够写为：=令M=其行列式=3×1-3×〔-2〕=9≠0∴M-1==∴=M-1==即方程组的解为：二、用几多何变更的不雅念探讨方程的解〔1〕〔2〕AX＝B，此中A＝，B＝2.5特点值与特点向量变更的稳定量〔1〕控制矩阵特点值与特点向量的界说，能从几多何变更的角度阐明特点向量的意思。〔2〕会求二阶方阵的特点值与特点向量〔只需求特点值是两个差别实数的情况〕。引例：依照以下前提试推断M是否与共线：⑴M=，非零向量=⑵M=，非零向量=⑶M＝，非零向量a＝，解：⑴M===3，因而M与共线。⑵M==，而与不共线。即如今M与不共线。⑶M与共线。二、特点向量与特点值设二阶矩阵A，对于实数l，存在一个非零向量a，使得Aa＝la，那么l称为A的一个特点值，而a称为A的属于特点值l的一个特点向量。几多何不雅念：特点向量的偏向通过变更矩阵A的感化后，坚持在同不断线上。l＞0偏向稳定；l＜0偏向相反；l＝0，特点向量就被变更成零向量。代数办法：特点多项式例2求初等变更矩阵的特点值与特点向量，并作出几多何说明。例3求矩阵M=的特点值跟特点向量：解：矩阵M的特点值满意方程=(+1)(-3)-(-)(-2)=2-2-8=0解得，矩阵M的两个特点值1=4，2=-2⑴设属于特点值1=4的特点向量为，那么它满意方程：(1+1)x+(-2)y=0即：(4+1)x+(-2)y=0也确实是5x-2y=0,那么可取为属于特点值1=4的一个特点向量。⑵设属于特点值1=-2的特点向量为，那么它满意方程：(2+1)x+(-2)y=0即：(-2+1)x+(-2)y=0也确实是x+2y=0那么可取为属于特点值2=-2的一个特点向量。综上所述：M=有两个特点值1=4，2=-2，属于1=4的一个特点向量为，属于2=-2的一个特点向量为。例3曾经明白：矩阵M=，向量=求M3解：由上题可知1=,2=是矩阵M=分不对应特点值1=4，2=-2的两个特点向量，而1与2不共线。又==3+=31+2∴M3=M3(31+2)=3M31+M32=3131+232=3×43+(-2)3×=192×-8×==例4曾经明白M＝，b＝，试盘算M50b例5天然界生物种群的生长遭到多种前提因素的妨碍，比方诞生率、逝世亡率、资本的可应用性与竞争、捕食者的猎杀以致天然灾祸等等。因而，它们跟周边情况是一种既相生又相克的生涯关联。然而，假如不任何限度，种群也会众多成灾。现假定两个相互妨碍的种群X，Y随时刻段变更的数量分不为{an}，{bn}，并有关联式，此中a1＝6，b1＝4，试剖析20个时段后这两个种群的数质变更趋向。