辽宁省本溪市铜锌矿地区学校2022年高三数学理知识点试题含解析.docx

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辽宁省本溪市铜锌矿地区学校2022年高三数学理知识点试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.已知函数上是增函数，且当，则a的取值范围是A．（0，1）B．（1，2）C．（1，8）D．（1，16）参考答案：D 2.复数（）A．B．C．D．参考答案：3.若幂函数f（x）的图象经过点A（），是它在A点处的切线方程为（）A．4x+4y+1=0 B．4x﹣4y+1=0 C．2x﹣y=0 D．2x+y=0参考答案：B考点：利用导数研究曲线上某点切线方程．专题：计算题．分析：先设出幂函数的解析式，然后根据题意求出解析式，根据导数的几何意义求出函数f（x）在x=处的导数，从而求出切线的斜率，再用点斜式写出切线方程，化成一般式式即可．解答：解：∵f（x）是幂函数，设f（x）=xα∴图象经过点A（），∴=（）α∴α=∴f（x）=f’（x）=它在A点处的切线方程的斜率为f’（）=1，又过点A所以在A点处的切线方程为4x﹣4y+1=0故选B．点评：本小题主要考查幂函数的定义和导数的几何意义、利用导数研究曲线上某点切线方程等基础知识，考查运算求解能力，属于基础题．4.某人到甲、乙两市各7个小区调査空置房情况，调查得到的小区空置房的套数绘成了如图的茎叶图，则调査中甲市空置房套数的中位数与乙市空置房套数的众数之差为（）A．4 B．3 C．2 D．1参考答案：B 5.给出下列命题：①函数的定义域是（-3,1）;②在区间(0,1)中随机地取出两个数，则两数之和小于1的概率是；；③如果数据x1、x2、…、xn的平均值为，方差为S2，则3x1+5、3x2+5、…、3xn+5的方差为9S2；④直线ax－y＋2a＝0与圆x2＋y2＝9相交；其中真命题个数是()A．1 B．2 C．3 D．4参考答案：C 6.已知集合，则A.B.C.D.参考答案：C略7.平面向量，，且，则（）A．B．C．D．参考答案：B 8.函数的一个单调减区间是A．B．C．D．参考答案：B 9.已知数列{an}的前n项和Sn＝n2－6n，数列{|an|}的前n项和Tn，则的最小值是()A．B．C．D．3参考答案：C 10.直线x＝－1的倾斜角和斜率分别是()A．45°，1 B．135°，－1 C．90°，不存在D．180°，不存在参考答案：C略二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.在直角三角形△ABC中，C=，，对平面内的任意一点M，平面内有一点D使得，则=．参考答案：6【考点】向量在几何中的应用．【分析】据题意，可分别以边CB，CA所在直线为x轴，y轴，建立一平面直角坐标系，得到A（0，3），并设M（x，y），D（x′，y′），B（b，0），这样根据条件即可得到，即得到，进行数量积的坐标运算即可求出的值．【解答】解：根据题意，分别以CB，CA为x，y轴，建立如图所示平面直角坐标系，则：A（0，3），设M（x，y），B（b，0），D（x′，y′）；∴由得：3（x′﹣x，y′﹣y）=（b﹣x，﹣y）+2（﹣x，3﹣y）；∴；∴；∴．故答案为：6．12.一弹簧在弹性限度内，拉伸弹簧所用的力与弹簧伸长的长度成正比，如果的力能使弹簧伸长，则把弹簧从平衡位置拉长（在弹性限度内）时所做的功为__________．（单位：焦耳）参考答案：1.2略13.沿一个正方体三个面的对角线截得的几何体如图所示，则该几何体的侧视图为（）参考答案：B略14.已知函数f（x）=，当x∈[0，100]时，关于x的方程f（x）=x﹣的所有解的和为参考答案：10000考点：根的存在性及根的个数判断．专题：函数的性质及应用．分析：根据函数的解析式分别求出各段上方程的根的和，找出规律作和即可．解答：解：x∈[0，1）时，f（x）=（x﹣1）2+2（x﹣1）+1=x2，令f（x）=x﹣，得：x2﹣x+=0，∴x1+x2=1；x∈[1，2）时，f（x）=（x﹣1）2+1，令f（x）=x﹣，得：x3+x4=3，x∈[3，4）时，f（x）=（x﹣2）2+2，令f（x）=x﹣，得：x5+x6=5，…，x∈[n，n+1）时，f（x）=（x﹣n）2+n，令f（x）=x﹣，得：x2n+1+x2n+2=2n+1，x∈[99，100]时，f（x）=（x﹣99）2+99，令f（x）=x﹣，得：x199+x200=199，∴1+3+5+…+199=10000，故答案为：10000．点评：本题考查了分段函数问题，考查了分类讨论以及二次函数的性质，是一道基础题15.如图，正方体棱长为,点分别在直线上,若直线与棱相交,则的最小值是．参考答案：试题分析:建立如图所示坐标系,则.设是上任意一点,则,故,即,也即.,所以,将代入可得,因,故,当且仅当时取等号.故应填答案.考点：空间向量的有关知识及基本不等式的综合运用．【易错点晴】本题借助几何体的几何特征,巧妙地构建空间直角坐标系.借助是上任意一点,则,故,即,也即.,所以,将代入可得,将问题转化为求函数的最小值的问题.然后用基本不等式求的最小值为,进而使得问题获解.16.函数的值域是参考答案：17.4名学生A，B，C，D平均分乘两辆车，则“A，B两人恰好在同一辆车”的概率为_______．参考答案：三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.已知函数y=x3+3ax2+3bx+c在x=2处有极值，且其图象在x=1处的切线与直线6x+2y+5=0平行．（1）求函数的单调区间；（2）求函数的极大值与极小值的差．参考答案：【考点】利用导数研究函数的极值；利用导数研究函数的单调性；利用导数研究曲线上某点切线方程．【专题】函数的性质及应用；导数的综合应用．【分析】（1）根据极值点是导函数对应方程的根，可知x=2为y′=0的根，结合导数的几何意义有k=y′|x=1，列出关于a，b的方程组，求解可得到y的解析式，令y′＞0和y′＜0，即可求得函数的单调区间；（2）根据（1）可得y′=0的根，再结合单调性，即可得到函数的极大值与极小值，从而求得答案．【解答】解：（1）∵函数y=x3+3ax2+3bx+c，∴y’=3x2+6ax+3b，∵函数y=x3+3ax2+3bx+c在x=2处有极值，∴当x=2时，y′=0，即12+12a+3b=0，①∵函数图象在x=1处的切线与直线6x+2y+5=0平行，∴k=y′|x=1=3+6a+3b=﹣3，②联立①②，解得a=﹣1，b=0，∴y=x3﹣3x2+c，则y’=3x2﹣6x，令y’=3x2﹣6x＞0，解得x＜0或x＞2，令y’=3x2﹣6x＜0，解得0＜x＜2，∴函数的单调递增区间是（﹣∞，0），（2，+∞），单调递减区间是（0，2）；（2）由（1）可知，y’=3x2﹣6x，令y′=0，即3x2﹣6x=0，解得x=0，x=2，∵函数在（﹣∞，0）上单调递增，在（0，2）上单调递减，在（2，+∞）上单调递增，∴函数在x=0时取得极大值c，在x=2时取得极小值c﹣4，∴函数的极大值与极小值的差为c﹣（c﹣4）=4．【点评】本题考查了导数的几何意义，导数的几何意义即在某点处的导数即该点处切线的斜率，解题时要注意运用切点在曲线上和切点在切线上．考查了利用导数研究函数的单调性，对于利用导数研究函数的单调性，注意导数的正负对应着函数的单调性．考查了利用导数研究函数的极值，求函数极值的步骤是：先求导函数，令导函数等于0，求出方程的根，确定函数在方程的根左右的单调性，根据极值的定义，确定极值点和极值．19.已知椭圆中长轴为4离心率为，点P为椭圆上异于顶点的任意一点，过点P作椭圆的切线l交y轴于点A，直线l’过点P且垂直于l交y轴于B，试判断以AB为直径的圆能否经过定点，若能求出定点坐标，若不能说出理由参考答案：设P为，P为切点且P在椭圆上设l为l’与是垂直的为直线过P点代入为在中令得在中令得过定点与P无关定点为或思路点拨;本题技巧已知两线垂直的那以x与y前的系数好互例体现在l’与是垂直的20.设函数(a，bR)的导函数为,已知，是的两个不同的零点．（1）证明：；（2）当b＝0时，若对任意x＞0，不等式恒成立，求a的取值范围；（3）求关于x的方程的实根的个数．参考答案：(1)见解析；（2）；（3）1个.【分析】（1）求函数的导数，利用△＝4a2﹣12b＞0，得证；（2）分离参数a，所以a≥﹣x对任意x＞0恒成立，令新函数设g（x）＝﹣x求最值即可，或采用x3+ax2﹣xlnx≥0时求左侧最值亦可．（3）转化函数求零点个数可得结论．【详解】（1）函数f（x）＝x3+ax2+bx（a，b∈R）的导函数为f′（x）＝3x2+2ax+b．已知x1，x2是f’（x）的两个不同的零点，设x1＜x2，所以△＝4a2﹣12b＞0，所以：a2＞3b得证；（2）当b＝0时，对任意x＞0，f（x）≥xlnx恒成立，所以x3+ax2≥xlnx，即x3+ax2﹣xlnx≥0，x2+ax﹣lnx≥0对任意x＞0恒成立，所以a≥﹣x对任意x＞0恒成立，设g（x）＝﹣x，则，令h（x）＝1﹣1nx﹣x2，则h（x）＝﹣﹣2x＜0，所以h（x）在（0，+∞）上单调递减，注意到h（1）＝0，当x∈（0，1）时，h（x）＞0，g（x）＞0，所以g（x）在（0，1）上单调递增，当x∈（1，+∞）时，H（x）＜0，g（x）＜0，所以g（x）在（1，+∞）上单调递减，所以，当x＝1时，g（x）有最大值g（1）＝﹣1，所以a的取值范围为[﹣1，+∞）；（3）由题意设F（x）＝f（x）﹣f（x1）﹣，则原问题转化为求函数F（x）的零点的个数，因为导函数为f（x）＝3x2+2ax+b，已知x1，x2是f’（x）的两个不同的零点，所以：，所以：，所以F（x）在（0，+∞）上单调递增，注意到F（x1）＝0，所以F（x）在（0，+∞）上存在唯一零点x1，∴关于x的方程有1个实根，【点睛】本题考查函数的极值，最值的综合应用，函数的零点判断，构造新函数求最值的特点，属于难题．21.(1)(2)在平面直角坐标系中,向量a=（2,）,向量b=（4k，-）若,求k值参考答案：略22.已知向量，，设函数，.（1）求的最小正周期与最大值；（2）在中，分别是角的对边，若的面积为，求的值.参考答案：略。