2019版高考数学-考点55-极坐标与参数方程试题解读与变式.doc

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2019版高考数学考点55极坐标与参数方程试题解读与变式【考纲要求】1.了解坐标系的作用，了解在平面直角坐标系伸缩变换作用下平面图形的变化情况．2.了解极坐标的基本概念，会在极坐标系中用极坐标刻画点的位置，能进行极坐标和直角坐标的互化．3.能在极坐标系中给出简单图形表示的极坐标方程．4.了解参数方程，了解参数的意义．5.能选择适当的参数写出直线、圆和椭圆的参数方程．【命题规律】极坐标与参数方程近几年是在第22题解答题中考查，主要是极坐标方程、参数方程与平面直角坐标方程的互化、直线与曲线的位置关系的判断以及距离的最值问题.难度中等.【典型高考试题变式】（一）参数方程与极坐标方程的综合运用例1.【2017新课标3】在直角坐标系xOy中，直线l1的参数方程为（t为参数），直线l2的参数方程为.设l1与l2的交点为P，当k变化时，P的轨迹为曲线C.（1）写出C的普通方程；（2）以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，设，M为l3与C的交点，求M的极径.【分析】（1）由题意得直线l1，l2的普通方程，然后消去参数即可得到曲线的普通方程；（2）联立两个极坐标方程可得，代入极坐标方程进行计算可得极径为.【解析】（1）消去参数得的普通方程；消去参数m得l2的普通方程.设,由题设得，消去k得.所以C的普通方程为.【名师点睛】本题考查了极坐标方程的求法及应用，重点考查了转化与化归能力.遇到求曲线交点、距离、线段长等几何问题时，求解的一般方法是分别化为普通方程和直角坐标方程后求解，或者直接利用极坐标的几何意义求解.要结合题目本身特点，确定选择何种方程.【变式1】【2018衡水联考】在平面直角坐标系中，已知曲线：（为参数），以原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线的极坐标方程为．（1）求曲线的普通方程和直线的直角坐标方程；（2）过点，且与直线平行的直线交曲线于，两点，求点到，两点的距离之积．【解析】（1）由题知，曲线化为普通方程为，由，得，所以直线的直角坐标方程为．（2）由题知，直线的参数方程为（为参数），代入曲线：中，化简，得，设，两点所对应的参数分别为，，则，所以．【变式2】【2018山西两校联考】在平面直角坐标系中，曲线(为参数)，以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为.（1）分别求曲线的普通方程和曲线的直角坐标方程；（2）若分别为曲线上的动点，求的最大值.【解析】（1）因为曲线参数方程为，所以，因为,所以的普通方程为.因为曲线的极坐标方程为，即，故曲线的直角坐标方程为，即.（二）参数方程的运用例2.【2017年新课标1】在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为（θ为参数），直线l的参数方程为.（1）若a=−1，求C与l的交点坐标；（2）若C上的点到l距离的最大值为，求a.【分析】（1）先将曲线和直线l的参数方程化成普通方程，然后联立两方程即可求出交点坐标；（2）由直线的普通方程为，设上的点为，易求得该点到的距离为.对a再进行讨论，即当和时，求出a的值.【解析】（1）曲线的普通方程为.当时，直线的普通方程为.由解得或从而与的交点坐标为，.【名师点睛】化参数方程为普通方程的关键是消参，可以利用加减消元、平方消元、代入法等等；在极坐标方程与参数方程的条件下求解直线与圆的位置关系问题时，通常将极坐标方程化为直角坐标方程，参数方程化为普通方程来解决.【变式1】已知直线l的参数方程为(t为参数)，圆C的参数方程为(θ为参数)．（1）求直线l和圆C的普通方程；（2）若直线l与圆C有公共点，求实数a的取值范围．【解析】（1）消去参数t可得直线l的普通方程为2x－y－2a＝0，消去参数θ可得圆C的普通方程为x2＋y2＝16．（2）因为直线l与圆C有公共点，故圆C的圆心到直线l的距离d＝≤4，解得－2≤a≤2．【变式2】【2017云南省、四川省、贵州省联考】在平面直角坐标系中，已知曲线（为参数），直线.（1）在曲线上求一点，使点到直线的距离最大，并求出此最大值；（2）过点且与直线平行的直线交于，两点，求点到，两点的距离之积.【解析】（1）设点，则点到直线的距离为，所以当时，，此时.【数学思想】①数形结合思想.②分类讨论思想．③转化与化归思想.【温馨提示】①在参数方程、极坐标方程与平面直角坐标方程互化的过程中，要注意等价性，注意其中曲线上的点的横、纵坐标的取值范围是否因为转化而发生改变，如果发生改变则它们所表示的曲线就不是同一曲线．②参数方程、极坐标方程是解析几何中曲线方程的另外两种表示形式，可以说是曲线的两种巧妙的表示形式，有时解决一些问题要借助参数的几何意义.【典例试题演练】1.以直角坐标系的原点为极点，轴的正半轴为极轴，且两个坐标系取相等的单位长度．已知直线的参数方程是（为参数），曲线的极坐标方程是．（1）写出直线的普通方程和曲线的直角坐标方程；（2）设直线与曲线相交于，两点，点为的中点，点的极坐标为，求的值．【解析】（1）因为直线的参数方程是（为参数），消去参数得直线的普通方程为．由曲线的极坐标方程，得．所以曲线的直角坐标方程为．（2）由得，设，，则的中点，因为，所以，又点的直角坐标为，所以．2.【2018黑龙江齐齐哈尔一模】在直角坐标系中，直线的参数方程为(为参数），以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，圆的极坐标方程为.（1）求直线的普通方程与圆的直角坐标方程；（2）设直线与圆相交于两点，求.3.【2017广东湛江市调研】已知极点与直角坐标系原点重合，极轴与轴的正半轴重合，圆的极坐标方程为，直线的参数方程为（为参数）.（1）若，直线与轴的交点为是圆上一动点，求的最大值；（2）若直线被圆截得的弦长等于圆的半径的倍，求的值.【解析】（1）当时，圆的极坐标方程为，可化为，化为直角坐标方程为，即.直线的普通方程为，与轴的交点的坐标为.因为圆心与点的距离为，所以的最大值为.（2）由可得，所以圆的普通方程为.因为直线被圆截得的弦长等于圆的半径的倍，所以由垂径定理及勾股定理得：圆心到直线的距离为圆半径的一半，所以.解得或.4.【2017河南省豫北名校联盟对抗赛】在平面直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数）.（1）求曲线的普通方程；（2）经过点（平面直角坐标系中点）作直线交曲线于两点，若恰好为线段的三等分点，求直线的斜率.【解析】（1）由曲线的参数方程，得所以曲线的普通方程为.（2）设直线的倾斜角为，则直线的参数方程为（为参数）.代入曲线的直角坐标方程，得，所以由题意可知.所以，即.解得.所以直线的斜率为.5.【2017河南省广东省佛山市检测】在极坐标系中，射线与圆交于点，椭圆的方程为，以极点为原点，极轴为轴正半轴建立平面直角坐标系.（1）求点的直角坐标和椭圆的参数方程；（2）若为椭圆的下顶点，为椭圆上任意一点，求的取值范围.（2）设，又，所以，，于是，因为，所以，所以的取值范围是.6.【2018广西柳州摸底联考】在平面直角坐标系中，曲线的参数方程为(其中为参数）.以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系并取相同的单位长度，曲线的极坐标方程为.（1）把曲线的方程化为普通方程，的方程化为直角坐标方程；（2）若曲线，相交于两点，的中点为，过点做曲线的垂线交曲线于两点，求.【解析】（1）曲线的参数方程为（其中为参数），消去参数可得.曲线的极坐标方程为，展开为，化为..（2）设，且中点为，联立，解得，所以.所以.线段的中垂线的参数方程为（为参数），代入，可得，所以，所以.