垂径定理-四量关系.doc

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圆的相关概念及垂径定理一、圆及相关概念圆心为O，半径为r的圆可以看成是所有到____的距离等于____的点组成的图形，圆心确定____，半径确定______．1．点P到⊙O的最近点的距离为4cm，最远点的距离为9cm，则⊙O的半径是2．如图所示，____是直径，_____是弦，以E为端点的劣弧有______，以A为端点的优弧有_______．3.如图，两正方形彼此相邻且内接于半圆，若小正方形的面积为16，则该半圆的半径为4.如图，矩形ABCD与圆心在AB上的圆O交于点G、B、F、E，GB=10cm,DE=3cm,AG=2cm,则EF=.5．⊙O的半径OA=3,以点A为圆心,OA的长为半径画弧交⊙O于B、C,则BC等于6.已知：如图所示，Rt△ABC的两直角边BC=3cm，AC=4cm，斜边AB上的高为CD，若以C为圆心，半径为r作圆。写出下列情况时，点D与圆的位置关系.当r=2cm，.当r=2.4cm，.当r3=3cm，二、垂径定理及推论：①②③④⑤如图，已知直径AB垂直于弦CD于点E，则有例1:.如图，弦CD垂直于⊙O的直径AB，垂足为H，且CD=，BD=，则AB的长为多少？1工程上常用钢珠来测量零件上小孔的直径，假设钢珠的直径是12mm，测得钢珠顶端离零件表面的距离为9mm，如图所示，则小孔的直径AB为______．2如图所示⊙O的半径为5，弦AB长为8，点M在线段AB（包括端点A、B）上移动，则OM的取值范围是3.△ABC内接于⊙O，D为线段AB的中点，延长OD交⊙O于点E，连接AE，BE，则下列五个结论①AB⊥DE,②AE=BE,③OD=DE,④∠AEO=∠C，⑤,正确结论4．如图，以点P为圆心的圆弧与x轴交于A，B；两点，点P的坐标为（4，2）,点A的坐标为（，0）则点B的坐标为．5.如图，⊙O过点B、C。圆心O在等腰直角△ABC的内部，∠BAC＝900，OA＝1，BC＝6，则⊙O的半径为6．如图，⊙O的半径OP＝10cm，弦AB过OP中点Q，且∠OQB＝45°，则弦AB的弦心距是___________cm，弦AB的长为___________．7．如图7－38，在以O为圆心的同心圆中，大圆的弦AB交小圆于C、D，AB＝2CD，弦AB的弦心距OP＝CD，小圆和大圆半径分别为r、R，则＝___________．8.如图在两个同心圆中大圆的弦AB交小圆于C、D两点设大圆和小圆的半径分别为a、b求证AD×BD=a²-b²提高：1.⑴如图①，多边形ABDEC是由边长为2的等边三角形ABC和正方形BDEC组成，⊙O过A、D、E三点，则⊙O的半径等于.⑵如图②，若多边形ABDEC是由等腰三角形ABC和矩形BDEC组成，AB=AC=BD=2，⊙O过A、D、E三点，则⊙O的半径是否改变？答：.2.如图，⊙O的半径为10cm，G是直径AB上一点，弦CD经过点G，CD＝16cm，AE⊥CD于E，BF⊥CD于F，求AE－BF的值。拓展：如图，AB是⊙O的直径，且AB=10，弦MN的长为8，若弦MN的两端在圆周上滑动，始终与AB相交，记点A、B到MN得距离为，则等于3.⊙O半径为10，弦AB=12，CD=16，且AB∥CD.求AB与CD之间的距离.4.如图24-1-3-4，⊙O的直径AB和弦CD相交于点E，已知AE=6 cm，EB=2 cm，∠CEA=30°，求CD的长.例图E O D C B A 5.如图，半径为2的圆内有两条互相垂直的弦AB和CD，它们的交点E到圆心O的距离等于1，求的值三、弦、弦心距、弧、圆心角定理：1.下列说法中，正确的是()A.等弦所对的弧相等B.等弧所对的弦相等C.圆心角相等，所对的弦相等D.弦相等所对的圆心角相等2．下列说法正确的有_______．（填序号）①直径是弦;②弦是直径;③半圆是弧，但弧不一定是半圆;④长度相等的两条弧是半圆3.对于内接于圆的梯形，下面四个结论：⑴该梯形是等腰梯形；⑵该梯形是直角梯形；⑶该梯形对角线相等且互相平分；⑷该梯形对角互补.其中正确的结论为4.如图所示，AB是圆O的直径，以OA为直径的圆C与圆O的弦AD相交于点E。你认为图中有哪些相等的线段5.如图所示，在圆O中，AB、AC为互相垂直且相等的两条弦，OD⊥AB，OE⊥AC，垂足分别为D、E，若AC=2cm，则圆O的半径为____________cm。6.如图所示，AB是⊙O的弦，C、D为弦AB上两点，且OC=OD，延长OC、OD，分别交⊙O于点E、F.试证:弧AE=弧BF.7．如图，AB是⊙O的直径，点E、F分别是OA、OB的中点，且EC⊥AB，FD⊥AB，EC、FD交⊙O于C、D两点，求证：＝．8．如图，弦AB和CD相交于⊙O内一点P，且∠OPB＝∠OPD，求证：（1）＝；（2）PA＝PC．9．如图7－47，在⊙O中，弦AB＝CD，延长AB到点E，延长CD到F，使得BE＝DF，过O作OP⊥EF，垂足为P，求证：PE＝PF．四、圆周角：例题：AB为⊙O的直径，AC交⊙O于E点，BC交⊙O于D点，CD=BD，∠C=70°．现给出以下四个结论：①∠A=45°；②AC=AB：③⑶弧AE等于弧BE；④CE•AB=2BD2．其中正确结论的序号是；并证明你的结论1.如图，⊿ABC内接于⊙O，∠C=45°，AB=4，则⊙O的半径为.2.如图，在⊿ABC中，AB=AC=,BC=2，以AB为直径的⊙O分别交AC、BC于点DE，则⊿CDE的面积为.3.已知，如图AD=DC，∠CAB=30°，AC=，求AD的大小4.如图，⊙O的直径AB=15cm，有一条定长为9cm的动弦CD沿弧AMD上滑动（点C与A、点D与B不重合），且CE⊥CD交AB于E，DF⊥CD交AB于F，（1）求证：AE=BF；（2）在动弦CD滑动的过程中，四边形CDFE的面积是否为定值，若是定值，请给出证明并求出这个定值，若不是，请说明理由．5.如图，圆O的直径为5，在圆O上位于直径AB的异侧有定点C和动点P，已知BC：CA=4：3，点P在半圆弧AB上运动（不与A、B两点重合），过点C作CP的垂线CD交PB的延长线于D点．（1）求证：AC·CD=PC·BC；(2）当点P运动到AB弧中点时，求CD的长；（3）当点P运动到什么位置时，△PCD的面积最大？并求出这个最大面积S。