2013年普通高等学校招生全国统一考试（广东卷）《数学（文科A卷）》.doc

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2013年普通高等学校招生全国统一考试（广东卷）数学（文科A卷）本试卷共4页，21小题，满分150分．考试用时120分钟．锥体的体积公式：．其中S表示锥体的底面积，h表示锥体的高．ks5u一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，满分50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．设集合，，则A．B．C．D．2．函数的定义域是A．B．C．D．3．若，，则复数的模是A．2 B．3 C．4 D．5 4．已知，那么A．B．C．D．5．执行如图1所示的程序框图，若输入的值为3，则输出的值是A．1 B．2 C．4 D．7 6．某三棱锥的三视图如图2所示，则该三棱锥的体积是A．B．C．D．7．垂直于直线且与圆相切于第一象限的直线方程是A．B．C．D．8．设为直线，是两个不同的平面，下列命题中正确的是A．若，，则B．若，，则C．若，，则D．若，，则9．已知中心在原点的椭圆C的右焦点为，离心率等于，则C的方程是A．B．C．D．10．设是已知的平面向量且，关于向量的分解，有如下四个命题：①给定向量，总存在向量，使；②给定向量和，总存在实数和，使；ks5u③给定单位向量和正数，总存在单位向量和实数，使；④给定正数和，总存在单位向量和单位向量，使；上述命题中的向量，和在同一平面内且两两不共线，则真命题的个数是A．1 B．2 C．3 D．4二、填空题：本大题共5小题．考生作答4小题．每小题5分，满分20分．（一）必做题（11～13题）11．设数列是首项为，公比为的等比数列，则12．若曲线在点处的切线平行于轴，则．13．已知变量满足约束条件，则的最大值是．（二）选做题（14、15题，考生只能从中选做一题）14．（坐标系与参数方程选做题）已知曲线的极坐标方程为．以极点为原点，极轴为轴的正半轴建立直角坐标系，则曲线的参数方程为．15．（几何证明选讲选做题）如图3，在矩形中，，，垂足为，则．三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．16．（本小题满分12分）已知函数．(1)求的值；(2)若，求．17．（本小题满分13分）从一批苹果中，随机抽取50个，其重量（单位：克）的频数分布表如下：分组（重量）频数（个）5102015(1)根据频数分布表计算苹果的重量在的频率；(2)用分层抽样的方法从重量在和的苹果中共抽取4个，其中重量在的有几个？(3)在（2）中抽出的4个苹果中，任取2个，求重量在和中各有1个的概率．18．（本小题满分13分）如图4，在边长为1的等边三角形中，分别是边上的点，，是的中点，与交于点，将沿折起，得到如图5所示的三棱锥，其中．(1)证明：//平面；(2)证明：平面；ks5u(3)当时，求三棱锥的体积．19．（本小题满分14分）设各项均为正数的数列的前项和为，满足且构成等比数列．(1)证明：；(2)求数列的通项公式；(3)证明：对一切正整数，有．20．（本小题满分14分）已知抛物线的顶点为原点，其焦点到直线的距离为．设为直线上的点，过点作抛物线的两条切线，其中为切点．(1)求抛物线的方程；(2)当点为直线上的定点时，求直线的方程；(3)当点在直线上移动时，求的最小值．21．（本小题满分14分）设函数．(1)当时,求函数的单调区间；(2)当时,求函数在上的最小值和最大值．2013年普通高等学校招生全国统一考试（广东卷）数学（文科A卷）解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，满分50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．ACDCC BABDB二、填空题：本大题共5小题．考生作答4小题．每小题5分，满分20分．11.12.13.5 14.（为参数）15.三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．16．（本小题满分12分）【解析】(1)（2），，．17．（本小题满分13分）【解析】（1）苹果的重量在的频率为；（2）重量在的有个；（3）设这4个苹果中分段的为1，分段的为2、3、4，从中任取两个，可能的情况有：（1，2）（1，3）（1，4）（2，3）（2，4）（3，4）共6种；设任取2个，重量在和中各有1个的事件为A，则事件A包含有（1，2）（1，3）（1，4）共3种，所以.18．（本小题满分13分）【解析】（1）在等边三角形中，,在折叠后的三棱锥中也成立，,平面，平面，平面；（2）在等边三角形中，是的中点，所以①，.在三棱锥中，，②；（3）由（1）可知，结合（2）可得.19．（本小题满分14分）【解析】（1）当时，，（2）当时，，,当时，是公差的等差数列.构成等比数列，，，解得,由（1）可知，是首项,公差的等差数列.数列的通项公式为.（3）20．（本小题满分14分）【解析】（1）依题意，解得（负根舍去）抛物线的方程为；（2）设点,，，由,即得.ks5u∴抛物线在点处的切线的方程为，即.∵，∴.∵点在切线上,∴.①同理，.②综合①、②得，点的坐标都满足方程.∵经过两点的直线是唯一的，∴直线的方程为，即；（3）由抛物线的定义可知，所以联立，消去得，当时，取得最小值为21．（本小题满分14分）【解析】：(1)当时,在上单调递增.（2）当时，，其开口向上，对称轴，且过-k k k（i）当，即时，，在上单调递增，从而当时，取得最小值,当时，取得最大值.（ii）当，即时，令解得：,注意到,(注：可用韦达定理判断，,从而；或者由对称结合图像判断)的最小值,的最大值综上所述，当时，的最小值,最大值解法2（2）当时，对，都有，故故，而，所以，。